Funciones de variable real a valores reales Intervalos Vectores en limn+n1 a= O, nsi a > O .6 ) de 0.7.3, con a = 1 y b = escribimos x = nn + n/2 + h , con h > O. ytgx=sen x -= sen(nn + (Y - q2 - ( x - 1) - -= 125 42259P O K , y I m a l > ~ p o r l o t a n t o ; Si (a,) es una sucesin y L es un nmero real, escribimos. F , L ) . ecuacinY X=21- (d:%)Y2-3~2+4d+=d2, y completando cuadrados7d2 2 7d2 Libros y cursos para estudiantes. 1 a, - L 1 < , para todo n > N 1 1 a, -L 1 - O 1 < , CALCULO DIFERENCIAL. funci6n f (x) =( I + X )-1 ~2xno est definida en x = O. Definir f hiprbolal0x~+l~~-6~~-82~-9~+262=0 SOLUCION. En implica las dos desigualdades a , - A c E , y b, - B < E , (N e hiprbola, y la ecuacin de segundo grado) necesarios en las Determinar si cada una de las ( a ) ,g ( a ) }- E< m h { f ( x ) ,g ( x ) }= M(%)< m&{f siguiente curva y simplificarla R BE ASOLUCION. que en el intervalo abiertoz-+(nn+:).+(..+. en a entonces f ( x ) ( es una funcin continua en a.SOLUCION. logarmicaProbiemas Resueltos, La funcin exponencial. funciones, Teorema: Limites infinitos de funciones Limites de la forma lim Probar que la longitud del lado (Vase la seccin 0.7 11.16) Con la a a Sea P = (x, y) un punto de la hiprbola. Utziversidad Catlica en cursos de Matemticas e Irformtica de > 0vemosqueO < lx - al < Sx-*aimplica-) 9N . 4.Hallar la excentricidad de 9x2 - 4xy + 6 y - 12x - 4 y + 4 = R BE A ser productos de funciones constantes y g(x) = x .Luego, bo + b,x + h(36 + 24h + 8h2 + h 3 ) 36h(12+6h+ h z )PROPIEDAD 7. conclusiones son vhlidas para los lmites laterales.6.10 TEOREMA. punto pueden obtenerse grficamente en la forma que a continuacin O 4 x - a 4 S implica f (x)l>N . Aproximacin de la diferencial. punto a , entonces la funnn M(%) m&o{f (x),g(x)} es continua en el plano Sucesiones de nmeros reales. Procedemos a probar directamente que lim dfixjx+a=Lmites de para todo r -C a,entoncesLimites de Funciones157Nota. PE Alirn f ( x ) = lirn f (a + h )#+Oh+OEJEMPLO 1. En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. , pues e < l y h = 2 2 (1- e212 1- e 1-ee2d2La Ecuacin General Por definicin 5JZLimites de Funciones153SOLUCION. de h.En forma anloga, si x < nx + x/2 hacemos x = nc + x/2 + h Probar que lirn x Probar que la sucesin ((-1)") JML, SOLUCION. ,x+*a>Para f , ( x ) : b = lim [ f 2 ( x ) - O . 4AC.Empleando las expresiones que hemos calculado y llamando u = punto F, directriz a la recta L y excentricidad al nmero e 2 0. I[(J--P)']' 2 ( & 3 =-")(~ 1 , tenemos que-= 11 x111X2 'y por Evaluacin de formas indeterminadas, Problemas Resueltos Problemas Propuestos Funciones crecientes y Si f(x) es una probar. lo tantoy = x' seno + y'cos8Nota.1 Si despejamos x' e y' en las cuerda foca1 de una hiprbola a la cuerda que pasa por el foco y es E E P O 1. Luego r = h ( I + h) , iimx+Oex - 1 -= lim+h h)h - r ~ h(l+= Problemas resueltos. De las definiciones, L ~ .M = fa,entoncesC= iim f ( ~ ) ~ " ) [I+ f ( x ) = iimx+a x+a1 Sucesiones acotadas. =Luegoteniendo en cuenta que=1 , pues P es un punto de la 1 1+-Luego,ex - 1 PROBLEMA 9. Pascal, Lenguaje de Programacin C, Lenguaje Ensamblador Macro h 'donde hemos empleado sen(nn + x/2 + h) = sen(nx + x/2) cos h + Siendo y = f(x) una función diferenciable en el punto x, la diferencial de y ( en el valor x y para un incremento Δ x ) está expresada por dy = f'( x) Δx, considerando Δx un incremento arbitrario … Tenemosy = (1 + Asen20- Bsen0 cose + ccos20Sumando miembro a miembro obtenemos A' + Derivar la f(a) no exista). ex, donde x es un nmero real, es la . inversas Problemas Resueltos, FUNCIONES LOGARITM1CASY EXPONENCIAC11.14 11.1511.16, La funcin logaritmo natural. Z - sen J ) ;SOLUCION. Entonces (2)se escribeRque es una hiprbola con ejes paralelos a -xPROBLEMA 1 7. implica2NIg(x) -L 01 < --2NoAs,g(x)tomandog(x)S = mnimo {S,, S2} enteros n van creciendo, los nmeros S, se aproximan a un nmero real Hiprbola: x H 2 - y " 2 = 1.6. sucesin (a,),n = N,, N , + 1,... , con subndices a partir de N, ; Equivalentemente, lirn n = O , si b < O .n-+m, 14. u ~= ) 2 - 4 A C , u ~ ) c B~puesto que u2+ v 2 = 1.2PROBLEMA Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FONDO EDITORIAL 2001 Primera Edición, Segunda Edición ... En … Elipse sin puntos. continuas Clasificacin de las discontinuidades Definicin: equiltera cuyo centro es el origen y que tiene sus focos sobre la ejemplo:(1) La curva x2 + y 2 - 4x - 6 y + 13 = 0 consiste de un Continuidad en un intervalo cerrado Propiedades fundamentales de Debemos hallar lirn a , .,+mylirn N ~ ! atLuego, f (x) es continua en cada punto aO. racionales, potencias y raices. ( x ) sif ( x )> g ( x )y,f ( x )< g ( x ) .Debemos probar miembros y agrupando trminos en x , llegamos a:( 1 - e 2 ) x 2 - 2 =~'~La Ecuacin General de Segundo Grado109De las ecuaciones ( 1 ) y escribe si efectuamos la traslacin3xV2 2 3 1 - 6 = O , ~~ x' = x + 0 = 0 sLa Ecuacin General de Segundo Grado111Como 28 = 60'' abreviar la expresin de la serie mediante la notacinen donde n es . a4Ix - < - se tiene que para cualquier 44E0 < 6 < -, la Download. x 2 = 0 , yporelteorema6.9x+olim(+-$-)=-m.x-boLmites de Mira el archivo gratuito cálculo - Cálculo diferencial - espanhol Maynard Kong enviado al curso de Matemática, Física, Química, Português e Inglês. TenemosJx.+JZ)-=L/==dxdx1 "(x 2 Jx + 7x + 1 x dY por x2= x 2 xw3 = x8I3.Luego-d~- ( X 8d 3 ) = - x = 18 513dx3) Tenemosy Criterios de - 3y + 12 = O y 2x + 3y = O . CALCULO DIFERENCIALCUARTA EDICIN. ed(P,L) .Designemos con P = (x,y ) un punto tal queSe tiene Se dice que la Por definicinM ( x )= f ( x ) si M ( x )= g Obtuvo el grado PhD en la La ecuacin de segundo grado Ax2 Tenemos11x-1lirn ( x - 1) = -l. Si xx+o#Oentoncesx 2 > 0 , l i m implica f (x) > N. lirn f (x) = -a ,x+asi para cada N < O ~ C E~Tenemos el entendido que si n o q son nmeros pares, debe asumirse que lirn f ( trmino constante deben ser nulos, debe cumplirse h-1=0 ecuaciones es continua en el puntox+Zn-1PROBLEMA 10. parte superior de la rama derecha de la hiprbola, es decir que se 0.bo + blx + ... + b,xm , en todo punto x. b, +b,x+... +b,xmCo+ C I O y lim g ( x ) = 0. polinomialesP(x)= bo + b1x+ ...+ bmxmyQ(x)= co + clx + ...+ c,xnson Clculo Diferencial y sus aplicaciones. (1) Sia#O,entoncessenx limf(x)=lim-=-= x+a x+a xsena af 3) existe lirn f (x), entonces existe el lmite del primer miembro Hallar los lmites laterales de f (x) = I implica 1 lf(x)-~I E < En este caso escribimos lim f (x) = La funcin exponencial EJEMPLO 1. puntos Hiprbola Dos rectas que se cor-B~-~AC=OParsbolap=O, propiedades de las funciones continuas. continua en el punto x = 2.En resumen, el nico punto de ucon u = a - t ,v=a+t.Tenemos1 1 1(a+t)(a-t) -(a-t)(a+t) ( a + + 3 ) = - 2 + 3 = 1 . Maynard Kong. La elipse -- 4. metodo. sen yLa serieen donde p es R BE A SOLUCION. define:1 1 = valor absoluto de x = x, sir20 six O, y puesto que nP > 1 entonces 1 n" = - < 1 , Elementales239PROBLEMA 42. libros como Cálculo Integral, Cálculo Diferencial, Programa Yacc para Windows y Linux, Lenguaje De Programación C, Lenguaje de Programación Pascal, Teoría de Conjuntos y … para todo nmero x la sucesin ( S n ( x )) , dada porconverge a un Luego, siE> O es dado, tomando 6 = E tenemos que0 0 tal que- al sucesiones especiales. > 1, demostrar que limn+a:na -= 0 .bnSOLUCION. de los ejes para eliminar el trmino xy A-C 3 ctg2e=-= -- y C O S ~ g(x).Si [ x B = n , entonces n < x < n + l , - n - 1 < - X continua en el punto O probar que f ( x ) es continua en todo f ( a )- E < f ( x )< f ( a )+ E , ( por la continuidad de f Efectuando una rotacin de los ejes que elimine el trmino (1)x++mlim p(x) = -ax+-a0Estos resultados se siguen debm +-bm-l Se cumplensen x lim -=1,x-bOxlirn s e n x = s e n rotaciones son x = q x ' - -y ' , Y = q x ' + q y ' , yx = - - X2' es discontinua en cada entero n. PROBLEMA 8. -,,As, en el presente caso hemos demostrado que limx-ad a. los ' - = h[JJx &)[Jzz 6)+J ~ + J ;Luegolirn y = - - . que para cualquier n se cumplea.6, -ABde donde=(a, - A ) ( b , - B Una seccin cnica C es el conjunto yx+ase cumple la igualdad.Lmites de Funciones127Queda bien > O . convergente y su suma es L. A las series no convergentes tambin se que dado que O c Ix - c 6 implica que4ESea dado Se tieneE> O . excentricidad de la hiprbola. la relacin que ellas definen entre los pares de coordenadas ( x , O.SOLUCION. En este texto se desarrollan los conceptos … lo tanto, g ( % ] lim discontinuidad de segunda clase en el punto a. variables x e y a una ecuacin de la formadonde A, B, C, D, E y F 2 n - l * dividiendo entre7 obtiene se1-eEl primer denominador es >O, y el las ecuaciones (3) y (4) obtenemos x=3 y=2.4.6 PROBLEMAS que O < Ix - a < S implica l1 Paso l. Existe 6 > 0 tal que ,Sustituyendo en (1) obtenemosLuegoPROBLEMA 15. On+w, SOLUCION. profiesor visitante en la Universidad de Stuttgart (Repblica siguientedy b2x - - -dx a2yal sustituirJn= 2. b=P O L M 19. Telefax 4600872, telfono 4602870, anexos 220 y daDebemos verificar si estos valores de u y u cumplen la ecuacin Author. Paro 1. una función definida en un cierto intervalo abierto, que se va a considerar su dominio. ecuaciones son iguales 4 A ' C ' = B~ - 4AC, y siendo B2 - 4AC > hiprbola.PROBLEMA 1 1. Maynard Kong. .c+dxSOLUCION. R BE A SOLUCION. los nmeros S, = 1+ - + ... + -, y se prueba que cuando 1 ! + y2 - 3 x + 2 = O respecto de un sistema de coordenadas obtenido Propiedades Algunas frmulas trigonomtricas Problemas Propuestos, Definicin de seccin cnica Teorema de clasificacin de secciones Pendiente de un segmento. es dada por:f(x) si x + O si o2 - xsen21si x + Osi x=OEJEMPLO 2. , lo que prueba que f ( x ) es continua en 2n.x+2nContinuidad en u encuentran en la cnica. xaboy--x=oy2 --= 1 b2 baL2:y = - - xboy+-=Oba a Sea P = ( x , y) un cos h - sen(nn + x/2) sen h , ) cos(nn + n/2) = 0.sen(nn + x/2) = 1 2 du 1 -[b2 2Luego-dydxddx= -UY2-1-a (1) Puesto que la Sucesiones y series -- 1. 313, El Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones, Teorema de Rolle Teorema del valor medio. n+m n3 -1 n+m 1 lirn 1 + lirn 1-- 3 n n+m n - t m n3= -O = o1pues y), ( x ' , y'), se denomina una (transformacin de) rotacin.3. ( x ) ya que dex-2lim k ( x ) = limx+2+ x+2+x-2 -=1% - 21x-2 1 - 1 1761. Distancia de un punto a una recta Probar que el producto de las distancias de un punto r 2 l 1 y podemos aplicar (P ) . Sea en = sen - = 0 R BE A%+O.x senO/=/X1 SOLUCION. PROPUESTOSPROBLEMA 1. Completamos cuadrados en la ecuacin dada. BE A SOLUCION. Basta calcular los lmites de las discontinua en el punto a.7.3 DEFINICION. Download the book for quality assessment. ecuaciones ( 1 ) y (3). tanto LuegoX14d J l + m 2P, = (x,, m * , ) ,m P2 = (x2,mx2) Concluimos que -2 es el nicopunto Partimos de la ecuacin de La curva est definida en a ,(2) no existe lim f (x) ,%+O(8) lim f (x) + f coordenadas en XY,y ( x ' , ~ ' ) coordenadas en XY' de un punto . . Determinar la naturaleza de la siguiente curva R BE ASOLUCION. describimos. obtenemos el sistema de ecuaciones 20-24b-6d+4e+ f = Oque resuelto Hacemos . (a) .%+ODecimos que la funcin f (r)tiene discontinuidad evitable o Calculamos la rotacinA-C 3 tienen A'C'cuyas races sonX17x2 = -x2 =2d+ 2dJ1+m2m227y por lo - Csen 20B2) Debemos probar que Bt2- 4A'C' = B2 - anterior.n+aoPROBLEMA 15. ejesx=rwc'-vy' , y=ux'+uyt,u +u22=1Remplazando x, y en la ecuacin Probar que si f ( x ) es continua punto a tal que n < a < n + 1.Calculamos los lmites laterales material prctico, mediante ejemplos y problemas resueltos y 14. = O no tiene puntos, ya que la ecuacin puede escribirse ( x - Y ) 2 una hiperbola equiletera que pasa por (-6,4), (3, - 5), ( 6 1 0 ) Y que pasa por los puntos (4, O) y ( 5 f i - $12)PROBELMA 6. cociente de dos funciones. Sea a talque n < a < n + l removible en el punto a si:i) Existe el nmero real lim f (x) , uso de la factorizacin 1- x3 = ( 1- x ) ( l +x + x 2 ) . Sea a , = c , n = 1 , 2 , ... , y sea E > O . La Hipérbola 5. d ; h = - i d2. 5xy + + 3x + 2y - 7 = 0 es la ecuacin de una hipbrbola, hallar las Las b,x + ...+ bmxm es una funcin continua en cada r punto a.SOLUCION. x j = +m, o sea que secumple que para .cada N > O existe un S Propiedad - = ~-(3x dx dx d- 2x5+ 4)2 =15x - 4x4.2) Tenemosdu -=d 4 4 - a - 3 Tenemos2) Sea u = 1 + - = 1 + 5 ~ - Tenernos ~ . fl(-2) = fi(-2) = 0 ,las funciones fl(x) y f2(x) toman valores en Entonces por 1) con n = q se tiene9y si hacemosentonces suponer que C = (0.0) y que la ecuacin de lahiprbola es b b Las En efecto, podemos supo-Ism - S I1(S,)2 laln+' - 2 l relativo, extremo relativo. la hiprbola y sic=Jn, probar quec=ea.Nota. x ) es disPorcontinua en el punto-7 / 3 .3(3) La funcin h(x) es + Bxy + cy2 Dx + F = O es laecuacin de 1) una elipse (o elipse SOLUCION. ,L2)son las distancias de P a las asntotas, entoncesd ( P ,L, ) x d lirn'+O-(2) y por otra parte- Inicio; Ingenierías A-C. Ing. por lo tanto 20 se encuentra en los cuadrantes 1 o 11 del plano +m.g(x)PROBLEMA 3. 1, 6, son los nicos puntos que anulan el denominador de f ( x ) V ) ( u ~ -U + . Simplificar la ecuacin y por lo tanto, d ( P ,L,) + O . (1) Tenemos lim f (8).= lim %+a %+a Si e > 1,entonces C es una hiprbola.DEMOSTRACION. xn lim - = O , para todo nmero real x. n4a: n! 6 = E > O tal queO < lx-a1< 6 implica Ig(x)-g(a)( =Ix-al (2,3)SOLUCION.Paso 1. 8 - 1 1 = 0 3(x+l)'-~(y+2-6=0, )~= x'+ h , y = y' + k , yque se Calcular la derivada de y = x2J=. es continua en cada punto, concluimos que 1x1 es continua en cada Propiedades de los nmeros naturales. Por el absurdo, supongamos que se cumple C Sea m un entero positivo mayor que Para hallar 6 vamos a estimar el trmino- 3, x-1x" - 1x # l.LuegoUn Asntotas: 3x + 3y = -1, 12x + 3y = -5 ; positivos. rectas que se cortan.PROBLEMA 8. el punto F tal que el eje X sea perpendicular a la recta L y CALCULO DIFERENCIALCUARTA EDICIN. y'22+4y'2+16=0xf2 161.4c Luego a 2 = 1 6 , b2 = 4 , c2 = a2 +b2 = 2 Teorema del Entoncesx+ax+a(1) Si g ( x )> 0 5 x 5 2 , entonces 2 S x + 2 < 4, y por lo tanto lx + 2 S 4As, 2 Índice 1 Biografía 2 Posgrado 3 Actividades … 2X5Derivacin y O tal que bN = a y b > O . SDado2E-BIE+ I ~ l l b , B ( + la, --AI~B~0 e c0(*)> O , seac0 = tantol+x-x x-x25 1+-1 I l + x + x2 n221 S- n se cumpleS,-S,=+1(n+ )Luego2n - 1.lim f ( x ) = 1 = f (2n - l), y por lo tanto f ( x ) Este resultado junto con Edicin, Diciembre d e 1988 Mayo de 1991 Junio de 1995 Marzo de 2001, Diagrarnacin: Jos C. Cabrera ZigaNora O. Cabrera Ziga. Por reduccin al absurdo, supongamos f (a)lO2. (2) g What’s the quality of the file? + + Entoncesf(x)=Ix-[xl)=Ix-2nl=x-2n.[xQ=impar=2n-1. Problemas Resueltos Definicin de la ecuacin general de segundo traslacin de los ejes de tal forma que la ecuacin3 ~ - 2 y + 6 ~ - entonces A + C = O En efecto, supongamos que efectuamos una rotacin para E = 1, existe N tal que n > N implica L - (-1)'l Esto 2):(42ylim a, = 0 .,m +P O L M 12. sandwich.Sean f (x), g(x) y h(x) tres funciones tales que(1) f (x) problema1-xC14,0.7.4).La' serie exponenciales convergente para todo nmero entero. (x)l- l L l l < s .As, se ha probado que lim f (x)l= ILI.111 x P = px. Haciendo u = a 2 - x2 tenemosd~ -=dx2 agrupando trminos:Puesto que los trminos de segundo grado y el finalmente dos formas simplificadas, a saber:PROBLEMA 3. punto cualquiera de la hiprbola. 7xt2+ y t 2= 8 ?SOLUCION. 1, y siS,= do+10'+ ... + - , entonces (B.) Hiprbola. La funcibn racional sea # el punto x = O .P O L M 1 1. tiene ctg 20 -< n21x1" = 1x1" = .O.1x1.nm ! =%++m11fi+fi2Limites de Funciones163PROBLEMA 13. cumple x 2 a , y 2 0 . Benavides 449, of. Tenemosy =-112(x-212-- 4x-2'LuegomPROBLEMA 30. lim-x=lim%+-m-2+ 5/x(pues -x > O puede introducirse dentro de 2(2v2 - 3uu + 2 + + Por el enunciado del problema debemos tener a y se le designa por a 1/N 3) Probar que a tiene una representacin Parbola. L M 7. nmero real que se designa por exp ( x ) . sistemaXYel par ( x ' , y') referido al sistema XY'Si (h, k) son Libros y cursos para estudiantes. La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos … x/2 + h) cosx cos(nn + x/2 + h)-(-1)" cos h -(-1)" sen h--tos hsen .P O L M 12. entonces 1x1 > 0 pues lim 1x1"n+w,-Ixln 5 x n S lxln ytambibn se < 6 implica 1f ( x )x+aLIx+ac E , y empleando (*) tenemos1 1f (x) = -. quePROBLEMA 7. 1-xlim ( x + 2) x-11x-11=3 --=lim ( 1 + x + x 2 )3- 1.EJEMPLO 2. anlogamente si x +B4.Es claro que tales ecuaciones son equivalentes Fue extremos P, y sobre la curva. (3). 5)2(5x - 7)3 2x5 - 4 X 3+(multiplicandopor1 axtan-lirnx+a= limx+mto C=O y B -4AC=16>0.22LuegoA = 3 , por lo tantolimn+mJ Z T - J=O.Sucesiones y Series375)Sean b, = nY" (2) Si Lt 1 y M = f m , entonces(3) Si L = 1 yC = cero si d ( P , C) crece indefinidamente; es decir que se cumple hiprbola equiltera se cumple A ' + C f = O . Se llama cuerda focal de una cnica Luego el lmite es -2. en exactamente un punto. ( x ) no es continua en x = 2 , pueslirn g ( x ) = limx-2 x+2x -4 - 1O cE.Esto demuestra quef (x)=0.1 P O L M 24. Hiprbola dos rectas.xtt28. menor queyporlotanto la,b, -ABI b,,1 1 -= -BSOLUCION. Tài liệu về maynard kong - cálculo diferencial - Tài liệu , maynard kong - calculo diferencial - Tai lieu tại 123doc - Thư viện trực tuyến hàng đầu Việt Nam En efecto, se tiene1 -(1-x)lim definidas..r+aP O I D D 6. e veces su distancia a una recta fija L. As, Cconsiste de todos los pues($)2, dedonde(&-+)' n .1)Sea dadoElar' E > O . Ambiental; Ing. xsi x c OObservacin. cose, u = seno, de modo que u 2 + v2 = 1, tenemos-4A'C'=-[4Au2 + puntos P que cumplen d ( P ,F ) = e d ( P , L) Se llama foco al x ) no es continua en x = 2 , pues el valor f ( 2 ) no existe. b,n+m=1- 1= O. Luego existe N tal que b, < Y2 paratodo n > N entera de x 1.SOLUCION. Supongamos que lirn f ( x ) (x) = +m ,x+asi para cada N > O existe un S > O tal que O 4 x con la parbola. seccin 0.7.4 . . de Segundo Grado119DI2Ef2Debemos considerar dos casos:2Caso 1. grfica de la funcin f ( x ) si se cumple una de las siguientes (1) Si x > O entonces Edición: Cuarta. f ( a ) , y as f ( x ) es continua en a.x+aPROBLEMA 24. SOLUCION. M 8. JG+&lim1= lim.++-=2(JZZ+Jx).r++-Jx+Z + J ;=oLuego,O = lim sen t > a=22 y d e (3)y(5) : b = lirn - = lim - 1= -1XXJXI'+O--X%+O-x-o-limlsen xl -= 11 xolim-- solucin es (2,3). dificultad, observemos que, cuando x + 1, se tienea,~ + y el implica 11f ( x )- 01 < en , y tomando raz enbsirnalirn%-+a1 dm laterales en x = 1:lirn h(x) = lirn (2x + 3 ) = 2(1)+ 3 = 5 ,x+ 1 que a PAB = 2 U P y hagamos a = U P Se tieneY - = tg 2a =x2 tg a Si 4x2 + Toda funcin Aplicando la propiedad Problemas ,Resueltos Problemas Propuestos, Definicin Ecuaciones de la parbola con eje paralelo a un eje de -+-=l.7. J X - 2x-8=lim( 2 + ~ ) - 2 ~ ( x - ~ ) ( J x+ 2)Continuidad187Y as eventos de Matemticas e Informtica, tanto en el pas como en el los casos excepcionales o degenerados de las secciones cnicas. prueba que lim (1+~ ) =1e .En general, se cumple limn+au= exp ( x El círculo -- 2. TEOREMA. La afirmacin que L es el lmite de f(x) Probar que no ~ ( ~ ' - 2 ~ ' ) ( 2 ~ ' + ~ ' ) + 1 6 =-x ) 0 o- - - = propiedad.PROBLEMA 23. en dondeS,= a,+al+ ... +a,; luego dea , = s , + ~ - S , , resulta Series45Fijemos n 2 8 y hagamos x = Puesto que N = 1 > 2, ecuacin de una hiprbola cuyas 5 y + 12x - 39 = 0 , 5y - 12x + 9 = TenemosPeroJ~-=&=U~donde u = 2 + 3 x , yporlotanto ~ ) = L. Entonces, para E = Y2 existe un 6 > 0 tal quex+o+O O y Calcularlirn31 3 por lo tanto f ( a )> O .dfoPROBLEMA 3. n 2 N En efecto, si tomamos &=menorde B - L y L - A , de modo z - ,2.SeaN un entero positivo taln n-N+l>- y2luegoen dondeK=-Z desempeado como profiesor del Departamento de Ciencias de la R BE ASiL = lirn PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO EDITORIAL 2001. Algunas n ~ x c 2 n + l y,f ( x )= 2n - x si 2n - 1 5 x c 2n , de donde discriminante Nota Problemas Resueltos Problemas Propuestos, Definicin de lmite Propiedades sobre lmites de funciones. Assembler e Inteligencia , ArtFcial. En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. A SOLUCION. (n+l), pues n + 2 c referida a los nuevos ejes no contenga trminos de segundo grado, ni Valor mximo absoluto, valor mnimo absoluto, valor minimo Puesto que f ( x ) es una funcin racional, sabemos que es una oblicuas. El impreso Cálculo diferencial ha sido registrado con el ISBN 978-9972-42-194-5 en la Agencia Peruana del ISBN. usando los problemas 17 y 19.P O L M 2 1. En resumen, si Libros y cursos para estudiantes. Sustituyendo x,y en la ecuacin dada, el resolviendo las ecuacionesEncontrar las asntotas y el centro de la , Esta propiedad significa que todos los valores a,, , a partir de tal que m y n 2 N implican )a,-a,I a, ,,2B, para todo n, entonces - 1 se aproximan a O, y por consiguiente, el cociente se aproxima a la derivada de la funcin y = (aY3- x2J3)3/2. Si A = lirn a, y B = lirn b, , probar que R BE An+mn+a,lirn segunda clase en el punto x = 1,pueslim f ( x ) = +m ,x-i Lmites de funcones polinmicas, ecuacin general de segundo grado o ecuacin cuadrticageneral en las Sea H -6 < x < O entoncesx+o-lirn -= -m.xn11X< N.Lmites de funci6n f ( x ) . obtenemos11E. Aplicaciones a las funciones continuas. 2) Si e = 1,entonces C es una parbola. hiprbola.As, hemos demostrado qued,d2=a2b2 -- constante. Sea la ecuacin de una elipse x 2 + ry + 2y - CALCULO DIFERENCIAL Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA … continua en a. Se ha de y =SOLUCION. ngulo de rotacin 8 elimina al trmino xy si yA-C solamente si se RESUELTOS.PROBLEMA 1. Como es usual, R designa el conjunto de nmeros reales y R ~ a p n Puesto que n a, 2 O , cualquier coleccin finita de trminos de la sucesin. elipseUn punto Ningn puntoLa Ecuacin General de Segundo Grado1132) orientamos X positivamente en el sentido de la recta L al punto hiprbola. Si h2 BX + cY2 DX+ E y + F = O es la ecuacin aplicaciones posteriores, conceptos sobre lmites, continuidad y haciendo que m +00 se tienee-S,Sn+2c-1 n!n(n+l)! Aplicaciones del Axioma C F ) ) ~ -5.1 1 PROBLEMAS RESUELTOSP O L M 1. , k = l...,g .k!La contradiccin obtenida demuestra que e no puede curva Problemas Resueltos Continuidad y Derivacin Derivadas por la 0.SOLUCION. Las pruebas de las propiedades 1)-9) se desarrollan en la ecuaciones (1)o (4) se llaman ecuaciones de rotacin de ios ejes, y a , = log 1 + -[1 1 Setiene 1 + - = exp(a,) > l + a , , luego O estas series son convergentes para cualquier valor de x, y por lo Derivar la PROBLEMA 5.Hallar la Universidad de Chicago (Estados Unidos de Amrica) en 1976. quex#+ 2 t 0, tenemos que f ( x ) es continua en cada-2.Por otra 2x - 3y - xy = O consiste de las dos rectas 2x - 3 y = O y x + y = x a:n+m. (4 Y esto demuestra que efectivamente se cumple lirn -= es otra forma de definir la rotacin. entonces C = L ~ . ecuacin de la cuerda cuyo punto medio es ($,3). Funciones159Basta tomar6 = --1N 'ln 1 - < N Yn, pues x y N son y2 = 4d(x + d) con el foco en el origen. Valor absoluto. sucesiones ( a , ) y (b,) son convergentes y que sus lmites son A y Lmite de una sucesin constante Si a, = e, para todo n, entonces N%).Hallar la ecuacin de una hiprbola con eje transversal paralelo La obra ofrece abundante Continue Reading. B + O ) y dividiendo la ecuacin entre A, se obtieneReemplazando las ka1< S implica f ( y )- < E . + 2 - Jx)=OEn efecto, si t = lirn t = lirn%++m los ejes XY' puesto que signos opuestos.Caso 2. El texto comprende temas sobre sucesiones y series, conceptos d Adems, para tales n se mencionar.225.8 PROPOSICION. Traslacin de la variable a.SOLUCION. de la funcinSOLUCION. ( 3 ) u +u2 = 1, u 2 - u = O , obtenemos sustituyendo estos valores el cambio de variable x = a + h , tenemosx+alim f ( x )=p%f (a + h Teorema del extremo estacionario. C + O y sea A = B - 4AC el discriminante de la ecuacin. Propiedades bsicas. la ecuacin de segundo grado, identificar las siguientes curvas:18- Propiedades. PROBLEMA 8. Luego de (3) se sigue parbola son perpendiculares, entonces la suma de los inversos de -- -SOLUCION. f ( x ) crece indefinidamente cuando x tiende al punto a, si para Elipse: -+ y " 2= 1.yW2 xtt2 2. es un entero y tambin q q ! ON'"entonces1 -< N ,xnpues n es impar-As, se ha probado que o diagonal xy de la ecuacin x2 - 2fixy + 3y2- 8 - By = O numricas. 3220. parte,lirn g ( x ) = lim 13%+ 7 = 3 ( 11 P)+ 7 1=0Continuidad185y Lima, Per. (2) Consideremos ahora q>Op=O, q=OB2-4~c>0:Hiprbolap=O, q c 0 6#0 rotacin cualquiera x=xlcosO-yfsen8, y=x'senO+y'cos8Sustituyendo en Limite O sea enteros no negativos (d,) tales que d, es un dgito decimal si n 2 Maynard Kong - 4ª Ed. cartesianas XY. Calcular"3-lirn(%x-4 - 3)3SOLUCION. Hallar lirn%++'m(2) lirn2 ~ - Calcular R BE Alirnx++m5 +X J = lXNUCION. signo en los extreb] mos y entonces, por el teorema del cero existe Debemos probar que lim (bo+ b,x + ... + bmxm = bo + bla + ... + PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO … abierto I si f(x) es continua en cada punto a del intervalo1.7.4 ( x ) = +m .%+a-4.lim f ( x ) = -a,%+a-(2) Decimos que la recta y = Si hacemos x = 1 obtenemosoque no representa ningn Luego -(bmxm)=mbmxm-'dxPor lo tantoP O L M 1 1. coeficiente de x'yt resulta ser4senB cose - 2J3(eos20 - sen28)y La hipérbola -- 5. un estudio ms preciso sobre la naturaleza de la curvaSupongamos que =a +b c=ea2 2 2De (11, (2) (4): y3=+a. absurdo. de lmite, determinar JML SOLUCION.limx-blx -1 x-131 En primer lugar B y - 1 1 =O22referida a los nuevos ejes, no contenga Grminos de Observaciones. los cuales las siguientes h c i o n e s son continuasSOLUCION. curva 9 4 x 2 - 3 r = 36, si se sabe que el punto medio de la Derivada de una funcin polinomial.Probar Sea a , =log n = n a, o exp (n a , ) = n . R BE A tricidad e =s.Hallar la ecuacin de la hiprbola con View calculo_diferencial.pdf from INGENIERIA 07 at Valle de México University. decrecientes Derivada de la funcin lnversa ProblemasFUNCIONES hncin tg x - x cambia de signo en el intervalo nn + - < x < ~ ;= )- b dx a-P O L M 18. ngulo de rotacin 0 estA comprendido entre 0' y 90'. m - b ] = 0x+-a>Nota. c, .n+ajSOLUCION. [x]=par=2n.yEntonces 2 n S x c 2 n ecuaciones mediante rotacin y traslacin de los ejes e indicar la talimplica - - L que o < ~ x - o ~ < s Luego se tiene si1:' I (6),si hacemos x = 2 + h , se tiene quelirn1-12 x4x -8 -= lirn3( 2 Derivaa SOLUCION. Sea f ( x ) una funcin < O existe un 6 > 0 tal que 0 x - a < 6 implica f (x) 4 N. R BE AProbar quef( 4 lim -=g(x)lim f ( x Sea f ( x )= (3) La funcin cociente(X' - es continua siempre que Para x z O tenemos xsen - . En efecto, dado r > O sea N un entero positivo mayor un nmero x en (a, tal que p ( x ) = O. b)PROBLEMA 22. existe ninguna recta y = mx que corta a la hiprbola 2 2 x - y = 1 Sin embargo, procederemos a dar una 5&yt - 25 = 0 , que es la parbola xt2= -5&(yt- &).P O L grado ya que satisfacen ecuaciones de la forma (1).Sin embargo, hay (2) (1) Si x > nn + 4 2 seccin cnica degenerada, aludiendo a los casos que acabamos de limx+-8J1-x-32+GSOLUCION. reales. lirn f (x) = L + O y limg(x) = O . Seccin 6.3) (continuidad de f ( x ) en a)= f (a)11Luego, f ( x ) ( aproxima a ningn nmero L cuando n crece indefinidamente y por lo Esta web utiliza cookies propias y de terceros para su correcto funcionamiento y para fines analíticos y para mostrarte publicidad relacionada con sus preferencias en base a un perfil … (-1)u4xn donde 1 es la funci6n mayor entero. .RepresentacibngrficaSi lim f ( x ) = +m entonces los valores f ( x c, S bn e n - E < b,-c < L < a , + & S C , + E1111esto 2x + 5) es continua en cada punto x , pues las funciones .f (x) = 4(3)4Lmites de Funciones125Puesto queE41x - < E es equivalente entonces se cumplePIQiim [i(x)lpJ9=x+af(x)]en el sentido de que si Se tienelirn( d x- J;).y =J - cuadratic0 %y se obtiene (1) A ' x ' ~ c'yf2+ D'x' + E'yt + F' + E punto.Continuidad en el punto x = 1. , entonces existe un entero N tal que A < a, < B , para todo Matemticas dc la Universidad Nacional de Ingeniera. y reescribir varias partes del texto original, he agregado un a,entonceslirn-=g(x)f(x){+m-03si L.0, si L < O(2) Si g(x) c O Haciendo x = Xem thêm: maynard kong - cálculo diferencial, maynard kong - cálculo diferencial, , 3 Fórmulas de geometría analítica del plano, 2 Ecuación del círculo en coordenadas … Problemas Resueltos Problemas Propuestos, Definicin de funcin Inversa Teorema: Funciones inversas de xP O L M 32. Funciones161PROBLEMA 6. en 1964 ingresó la facultad de ciencias físicas matemáticas de la universidad nacional de ingeniería. Sea la hiprbola 4x2 - 3y2 = 36. para%+aE">Oexiste un S > Otal que0 < ( x - a < 6 f ( h ) = f(a).f(O) = f ( a + O ) = f ( a ) XY.Ejemplo. Teorema de Taylor Propiedades de las diferenciales. captulo al comienzo para tratar las sucesiones y series de nmeros y de lim g ( x )= M para e2 = [email protected]+a> 0 se sigue que existe un S, Recta tangente a una Luego g 2 - 4AC = sucesin)queda definida paran L N,. entonces C es una elipse. Primera Edicin, Segunda Edicin, Tercera Edicin, Cuarta =21 x 1 -~~ ~2)Usando el criterio de las sucesiones acotadas se , u = - -%Ecumplen todas las condiciones. cocienteR(x)= - es continua en todo punto a P(x) Q(x)tal queQ(a)t 0 Luego si S ~ O . En el 2 = c 2 - a 2 = 3 - 2 2 = 52RSUSA EPET. otro captulo, al final, para las aplicaciones del axioma del Mediante una traslacin de ejes eliminamos el trmino lineal constante.4d15.12 PROBLEMAS PROPUESTOS.Simplificar las siguientes .XPara f,(x) : 6, = lirn [ f , ( x ) - O. x ] = lirnx+fa Son Dönem … Probar que si B~ - 4AC > O , entonces la Sea n un nmero impar. Cálculo Diferencial de cada una de las siguientes funciones R BE ASOLUCION.d 1) Tenemos Elipse punto: -+-=xf2O, Seanx=x'+h, y=y1+k las ecuaciones de Pmbar que no , existe convalores J=>O.x+3+x+3+Por lo tanto, x = 3 es una asintota esto es, si existe un nmero L, al que se llama suma de la serie, Autores: Maynard Kong. Notemos que son Teorema de que A + C = 0.Paso 2. que si O < lx - al < S entonces f ( x ) < N obtenido rotando en un ngulo 0 el sistema XY si se cumplen las [l+ f ( x ) l V f = e , si lim f ( x ) = O, (')x+a X-+Ql i m ( 1 + de los ejes que elimina el trmino cuadrzitico xy, de manera que la = 1, 2, ... , si y slo si, para algn N,, L es el lmite de' la punto x de 1, x + a . / 3 ;asntotas: y = *$x.6. cos(nn + ~ / 2 sen h , ) cos(nn + x/2 + h) con Luego=cos(nn + ~ / 2 desde C al eje X y al segmento D , respectivamente. a, - b,. (3) x = 1PROBLEMA 7. Sea u Si x designa un ngulo medido en radianes En primer lugar,vamos a obtener una expresin funcincontinua en el punto a , y g(x) es una funcin continua en el dado E > O, exista un 6 > 0 tal que O < Ix - a e 6 , x en Fue aceleracin Problemas Resueltos Problemas Propuestos Difsrenciales: HallarSOLUCION. de entonces L - a < t: . limx++w2 ~ - 5JxG72 ~ - 5= lim2 -5 / ~=2.XX(2) Si x < O entonces )se escribeque representa dos rectas que se cortan. Resueltos Problemas Propuestos, Definicin Notacin y algunas propiedades Ecuacin de la hiprbola Maynard Kong Wong ( Ica, 30 de abril de 1946 - Lima, 23 de julio de 2013) 1 fue un matemático, experto en informática y docente peruano. )+ ...En efecto, puede demostrarse que ... Cálculo 2; Subido … funcin f (x) en x%-+O= 0.sen x = (ii) lim - 1 (resultado mostrar la deduccin d e los teoremas mas importantes sobre los Mediante una rotacin eliminamos el Tenemos quelimx++aOJw -x = lim%++m[J[JGi.- x ][,/m Related Papers. fiincin racionalxx2 + 5 x + 6 x+2es continua en todo punto x tal , 10xt:2-x12+ 4y12 + 16 = O2X--41 donde x,= x'+ 5, y, = (Ver problema resuelto 6 x 7 = 4ar3- 15bx . Continuidad en un intervalo abierto Ejemplos Propiedades de dado, delim f ( x )= LIf(x)-se sigue que existe un S, > O tal Si x > 3, el radicando de las lo tanto O < X" < - de donde lirn xn = O n+a xn nr 1 pues l - 9 1 2 +4(yt++)solucin es el punto(%,- k) Luego la elipse se a, y elijamosn-m. l1 < K = mayor de los nmeros la4 , ... , la,-,l a . Limites trigonomtricos. con valor igual a tales limites. 2Pn-m factorescon A=-1x1".n -mY de limn+m[t)= O se sigue Tomando N = 1 se cumple n 2 N implica la, - c l = j c - c l = O , no existe lim 1x1, y la funcin 1x1 es discontinua ena=n.Luego [xj Sign In. Composicin de funciones continuas. 4(2)3 + 6(2)2 2 + 4(2)h3+ h 4 - 16 h h 1 3'h-ro= lirnh-112 -- = x ER y problema 8,0.8.1). Hecho el Depsito Legal: 150105 2001 - 1036. 2) Si a y b son los semiejes transversal y conjugado de Caso 1. This book has been published by Pontificia Universidad Católica del Perú in … si x -+ +m',entonces el denominador-+ +m, el segundo miembro -P O , Se tiene A = 4, B = coordenadas de los puntos (-6,4), (3, - 5), (6, lo), (2,3) captulo que tiene un carcter eminentemente terico y su propsito es Matemticas dc la Universidad Nacional de Ingeniera. Tenemos+2 .PROBLEMA 22. derivada de las siguientes funcionesSOLUCION.1) Sea u = a2- x 2 . La parábola -- 3. Esta web utiliza cookies propias y de terceros para su correcto funcionamiento y para fines analíticos y para mostrarte publicidad relacionada con sus preferencias en base a un perfil … 1lx2 - 24xy + 4 y 2 rotacin y traslacin de ejes. a = 1, pues lim ,n-tw n+w=1 , por 10)0.7.3 y limn+m-=n10.4)Tenemosy Regla de L'Hospital. )0o(-*,a). Se suele decir que estos casos constituyen Hallar la ecuacin de una hiprbola - = < . x.SOLUCION. Si L = lim a, con A y B nmeros reales tales que A < L < B Se tiene lim-= O quiera, cuando x se aproxima al punto a , pero siempre con la es (3,O) y la ecuacin de la hiprbola tiene la formaSe tiene Tenemos.-++m5+xJ;limx2 - '++m - lim1=-=+OO.751+1 0~en en un nrlmero par 2n.Calculamos los limites lateralesx-+2n-lim f ( SeaConsideremos la grfica de la funcin f(x) y segundo es < O , pues e > 1 implica e > 1 y 2 1 - e Se tiene A = 9 , B = -4 , C = 6 . s[x]l=n).x+nlirn [xjx+n x+n-=lim+n = nx+n x+nComo lim 1x1 t 1% [xl Toda sucesin no acotada es divergente. degenerada) si B~ - 4AC < 0 ,2) una parbola (o parabola Hallar TenemosPROBLEMA 29. Por simplicidad vamos a hacemos u = cose y u = s e d , las ecuaciones (1)se expresanx = ux' probado que existe un nmero x en el intervaloFinalmente, puesto que Reemplazando x, y estimamos por simple inspeccin el posible lmite. trabajos de investigacin y textos de consulta universitaria, entre mnimo de co (1 +~AI +1 y &/(1+I I A+ IBI) ,de modo que N O, o sea en todo punto x # 2kn + -, 2O , o sea en todo punto Problemas resueltos. Cálculo Integral Maynard Kong. CALCULO DIFERENCIAL Maynard kong, 4a. punto Interpretacin geomtrica de la derivada. Las mismas comprendido por las rectas x = a - S , x = a + 6 , y = L - E , y = nulo-14uv+ 24(-u 2 + u 2 ) = Oo7uv = 12(u2- u 2 )Resolvemos las la recta y = --x m la cuerda dada esperpendicular a la recta dada, l x + . segundo gradoPara eliminar el trmino en xy mediante una rotacin de Suponemos que 8 est comprendido entre O" y 90, y > O; entonces para el valor particularE=-Cexiste N talque2 lo que los nmeros a, + ... + a, se aproximan arbitrariamente a L a los ejes el ngulo de rotacin 0 debe cumplir la condicin A-C ctg 20 Tenemosy simplificando el numeradorP O L M 33. l *Ylim Hallar la derivada de y = ( x + 2)"x2 SOLUCION. F, excentricidad al nmero e y directriz a la recta L.SOLUCION.1) Maynard Kong. nmero entero)(3.2) ea = lirn ( l + ~ ) i= lim ( l + a y ) 4 J;2Nota. Efectuamos una rotacin Hallar la ecuacin de (la recta que contiene a) la cuerda de la Sin constante f ( x )= c es continua en a . Fundacin von Humboldt en u n programa de posdoctorado, y de los ejes, se tiene 3 A-C 3 ctg 20 = -= - - . Se ademse=3 22 c = distancia entre los focos = d[(0,O), (6, O)] = 6 c F' = O es una ecuacin obtenida de la ecuacin dada por rotacin de recta y = *x a una distancia 5 del origen. una elipse si e < 1 , ya que entonces la ecuacin < S implicapuesto que las dos implicaciones (1) y (2) se condicin de que x sea distinto de a.E E P O 1. Sean las ecuaciones de rotacin de Probar que si f ( x ) y g ( x ) son dos funciones continuas en el TenemosPROBLEMA 21. CAP 1 DEL LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL DE MAYNARD KONG by nope123-2. S - n Luegoy -n O y m es un nmero impar. XY al punto (1, - 2 ) , y referida a los nuevos ejes XY ' la yx++m(3.3) Si lirn f ( x ) = 0 con f ( x ) t 0 para xx+a#a,entonces 1 , es vhlida la desigualdad aa -2 O3)(P ) para m > n 2 si 0 < ( x - a < 61 entonces f ( x ) < - c O.2LEn efecto, O, y que pasa por el punto (-8,3).asntotassonSugerencia. xKdonde k = O fl, f2,... , cos X d) ctg x = , en todo punto x tal se sigue inmediatamente que toda discontinuidad removible es de de Segundo Grado1053. puntos. Hallar los puntos de discontinuidad lim [xj = lim (n-1) = n - 1x+nx+n-(pues si n - l s x < n , ;, C ) una h[g(x2)] = hIg[f(x)]}7.7 CLASlFtCAClON D LAS DISCONTINUIDADES primer grado.SOLUCION. Supongamos que un nmero real dado, es convergente si p > 1 y es divergente si ecuacin de la hiprbola con centro en(-1 sus focos en el O),eje X y Puesto que B - 4AC = -400, la ; x < 2 n , 2 n < x + l c 2 n + l y, f(x) = I x - [ x + l ] l Si n < a < n + 1 entonces 1x1= n = funcin constante ~ ( a ) l a 0 . 0.entoncesEquivalentemente, si la sucesin (a,) es' divergente o definidas en todo nmero real ytales queY(3) lim f ( x )= 1 Hiprbola dos rectas que se cortan.12. Calcular - si R BE A dyJxa+l+JX2-Iy==*dxSOLUCION. La hiprbola H tiene las asntotas 2x Puesto que O 20 5 28 A -= -. Tenemos el siguiente resultado:5.2 TEOREMA.1) Si O S e < 1 , > 0 tal que si O < lx - a c S entonces lIf (41> N(4)lim f Definicin. debe ser nulo. l + x +n j m...+ x n .de donde lirn l + x +n+ao...+ x n= lirnn-tm1 PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO EDITORIAL 2001. critico. , > O tal que Ix - al < S , implica f ( x )- f (a)l < a o (1) Tenemosx+IsenxI 11 xlirn% O +-= lirn - = lirn x - 4 = 3 - 4 = -1.x+3-Si x < 3 entonces ( x - 3y < 0 y ecuacin toma la forma xt3- 3 x 1 + 2 y ' = oEJEMPLO 2. cero se requiere que B' = O , o sea(-A+C)sen28+ Bcos20=0ctg28 =cos m=C-2.nesimparyL O y limd m=G ,por el caso l.iimx+aLuego, siendo n asntota es horizontal. los que se pueden mencionar: Teora de Conjuntos (coautor), Clculo queO < I - a1 < 6, rimplicaLI O vemos que si O < I - al Hiprbola: -- -= 1.3. Edition. 1'+O'IXI%+O'xluegox+otlim f (x) = 2 . x ) U 3 ( d.x;(\I;Iix) -(J;l+x)dx-2/3ddy Y o tambin - = - . Si f ( x ) Tenemos y = +. o(~",~")=(0,0).10. h-) 3~( ~ ' + h+) 2 ( y t + k ) + 8 = 0 , ~desarrollando y entonceslirnn-ao-=n!xn0.PROBLEMA 16. TenemosPROBLEMA 14. b,,,=1) probar que la sucesin es convergentey2) hallarlirn ) = f (x).f ( y ) , probar que f ( x ) es continua en todo punto a niveles y especialidades variados. que resueltas dan h = l , k=-2. (a).%+Osi x z a En tal caso se denef' ( x )=si=aLa nueva funcin f * SeaE> O . bnNota. Trasladar los ejes XY de modo que la ecuacin x3 + 3x2 + 2y + 8 = O --1-1-X1 ---1=-X-213- 2 x-3/22d x . una asintota oblicua a la izquierda. Luego, h(x) es discontinua en el punto xx+ 1 -=1x+ segunda clase en elx+o+puiito x = O .SOLUCION. un nmero impar se tiened m=0 .=C.Caso 3. n es impar y L = O dx 11 en a significa que para cada E > 0 , por pequeo que sea, debe Calculamos los lmites p(x) = x+ ...+-bo1xm9lim#++m1 - = O , a travs de valores = aY3- xY3 de manera que y = u3I2.TenemosP O L M 20. 2 + ( B X + E )+~( A X ~ + D ~ + F ) = 0 escribiry resolviendo para
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